CHAPTER 1. Modeling

El concepto de modelos matemáticos se aplica para ayudadr a definir lo que se entiende por métodos numéricos y para ilustrar cómo pueden facilitar la solución de problemas en ingenieria. Asi pues, un modelo matemático está definido como una formualción o ecuación que expresa las características fundamentales de un sistema o proceso físico en términos matemáticos. los modelos se clasifican desde simples relaciones algebraicas hasta grandes y complicados sistemas de ecuaciones diferenciales. Si recordamos a Newton para este ejemplo, la expresion matemática, o modelo, de su segunda ley es la bien conocida ecuación F=ma (1), donde F es la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo, m es la masa de objeto y a es su aceleración. dicha expresión tiene características comunes de los modelos matemáticos del mundo físico:

1. Describe un proceso natural en términos matemáticos.

2. Representa una idealización de la realidad. Es por esto que la segunda ley no incluye los efectos de la relatividad, que no son relevantes cuando se aplican a objetos y fuerzas que interactúan sobre o alrededor de la Tierra a escalas visibles a los seres humanos.

3. Conduce a resultados predecibles, por lo que puede emplearse para propósitos de predicción. Si se conoce la fuerza aplicada sobre un objeto y se tiene su masa, entonces se puede usar la expresion F=ma para predecir su aceleración. Como tiene una forma algebraica sencilla, puede despejarse directamente:

a=F/m (2)

De este modo, la aceleración puede calcularse fácilmente. Sin embargo, los modelos de otros fenómenos físicos pueden ser mucho más complejos y no pueden resolverse pues requieren de técnicas matemáticas más complejas para su solución. Un ejemplo de esto puede ser la segunda ley de Newton para determinar la velocidad final de un cuerpo en caída libre cerca de la superficie terrestre. El cuerpo en descenso será un paracaidista como se muestra en la siguiente figura




Para este caso puede crearse un modelo al expresar la aceleración como la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo (dv/dt) y sustituir en la ecuación (1) de la siguiente manera:

m(dv/dt)=F (3)
Donde v es la velocidad y así, la masa multiplicada por la razón de cambio de la velocidad es igual a la suma de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. Si la fuerza total es positiva, el objeto acelera. Si es negativa, el objeto permanecerá a un nivel constante.

Para un cuerpo que cae dentro del perímetro de la Tierra la fuerza total está compuesta por 2 fuerzas contrarias: la atracción hacia abajo debida a la gravedad Fd y la fuerza hacia arriba debida a la resistencia del aire Fu.

F=Fd+Fu (4)

Si a la fuerza hacia abajo se le asigna un signo positivo, se puede usar la segunda ley para formular la fuerza debida a la gravedad como FD=mg , donde g es la constante gravitacional o la aceleración debida a la gravedad que es aproximadamente 980 cm/s2. Se puede suponer que la resistencia del aire es linealmente proporcional a la velocidad Fu= -cv (6), donde c es una constante de proporcionalidad llamada coeficiente de arrastre. El parámetro c toma en cuenta las propiedades del objeto descendente, tales como su forma o la aspereza de su superficie, que afectan la resistencia del aire. Para este caso “c” estaría en función del tipo del traje del paracaidista por ejemplo.

La fuerza total es la diferencia entre las fuerzas hacia abajo y hacia arriba. Por tanto, las ecuaciones (3) y (6) pueden combinarse obteniendo:

m (dv/dt)= mg- cv (7)

o, dividiendo cada lado entre m,

dv/dt = g – (c/m)v (8)

Esta última ecuación es un modelo que relaciona la aceleración de un cuerpo que cae, con las fuerzas que actúan sobre él. Así mismo es una ecuación diferencial porque está escrita en términos de la razón de cambio diferencial (dv/dt) de la variable que nos interesa predecir. En contraste con la solución dada por la segunda ley de Newton (2), la solución exacta de la ecuación (8) para la velocidad del paracaidista que cae, no puede obtenerse mediante simples manipulaciones algebraicas; en vez de eso, deberán aplicarse técnicas del cálculo para obtener la solución exacta. Por ejemplo, si el paracaidista inicialmente está en reposo (v=0 en t=0), se puede usar el cálculo para resolver la ecuación (8) así

v(t) = (gm/c)[1- exp –(c/m)t]

Ppt Modeling
www.cucei.udg.mx


BIBLIOGRAPHY
Métodos Numéricos para Ingenieros-Con Aplicaciones en Computadoras Personales. Steven C. Chapra, Ph.D-Raymond P. Canale, Ph.D. McGRAW-HILL. 1998.